今回は、X線の最大エネルギーが何によって決まるのか、そしてK_α線やK_β線がエネルギースペクトル上でどのように現れるのかを見ていきましょう。

X線の最大エネルギー

X線管から発生するX線には、さまざまなエネルギーのX線が含まれています。
ただし、エネルギーには上限があります。

この上限を最大エネルギーといいます。

最大エネルギーは管電圧で決まる

陰極から飛び出した電子は、陰極と陽極の間にかけられた管電圧によって加速されます。
このとき電子が得る運動エネルギーは、管電圧が高いほど大きくなります。

詳細はA02：放射線物理に必要な物理単位まとめ｜速度・圧力・電気など16個を簡単整理で説明しています。

$ E=qV $ でしたね。
qは電子の電荷、Vは管電圧です。
つまり、電子の運動エネルギーEは管電圧で決まります。

加速された電子がターゲットに衝突すると、その運動エネルギーの一部がX線へ変換されます。
もし1個の電子が持つ運動エネルギーのすべてが、1個のX線光子のエネルギーに変換されたとすると、そのX線が持つエネルギーが最大になります。

したがって、X線の最大エネルギーは管電圧によって決まります。

管電圧［kV］と最大エネルギー［keV］の関係

電子が電位差1 Vで加速されたときに得るエネルギーは1 eVです。
そのため、管電圧が1 kVなら電子が得る最大の運動エネルギーは1 keVとなります。

つまり、数値だけを見ると、

管電圧［kV］＝X線の最大エネルギー［keV］

という関係になります。

たとえば、管電圧が100 kVであれば、発生するX線の最大エネルギーは100 keVです。
120 kVであれば最大エネルギーは120 keVとなります。

管電圧を高くするとX線の最大エネルギーも高くなるため、エネルギースペクトルは高エネルギー側まで広がっていきます。

特性X線のエネルギースペクトル

X線管から発生するX線のエネルギースペクトルを見ると、
制動X線による連続した分布の中に、鋭く突き出した部分が見られます。
下図のK_αやK_βの部分です。
この部分が特性X線です。

特性X線は、ターゲット原子の内側の電子が電離したあと、外側の軌道から電子が遷移するときに発生するものでしたね。
お忘れの場合はC02：特性X線の発生原理と種類でご確認ください。
そのエネルギーは電子が遷移する軌道によって決まるため、制動X線のように連続した分布にはなりません。

K_α線とK_β線のエネルギー

K殻にできた空位へ電子が遷移すると、K系列の特性X線が発生します。

L殻からK殻へ電子が遷移するとK_α線、M殻からK殻へ遷移するとK_β線が発生します。

K_β線ではM殻からK殻へ遷移するため、L殻からK殻へ遷移するK_α線よりも大きなエネルギー差があります。
したがって、

K_α線のエネルギー ＜ K_β線のエネルギー

となります。

エネルギースペクトルでは、K_α線が低エネルギー側（グラフでは左側）、K_β線が高エネルギー側（グラフでは右側）に現れます。

K_α線とK_β線の強度

K_α線とK_β線では、発生する量も同じではありません。

K殻に空位ができたあと、M殻からK殻への遷移よりもL殻からK殻への遷移のほうが起こりやすいため、K_α線のほうが多く発生します。

そのため、エネルギースペクトルに現れるピークの高さは、

K_α線の強度 ＞ K_β線の強度

となります。

つまり、K_α線はK_β線よりもエネルギーは低いものの、強度は大きいという特徴があります。

もし、特性X線のピークが一つしか示されていない場合、それはK_αになります。

L系列の特性X線はろ過される

ターゲットではK系列だけでなく、L殻に空位ができることでL系列の特性X線も発生します。

ただし、L系列の特性X線はK系列よりもエネルギーが低いため、X線管の固有ろ過や付加ろ過によって吸収されやすくなります。
そのため、X線管から外へ出てくるX線では、低エネルギーのL系列の特性X線はほとんど除去されています。

実際のエネルギースペクトルでは、K_α線やK_β線のピークが目立って現れることになります。

管電圧と特性X線の割合

X線管から発生するX線には、制動X線と特性X線が含まれています。
この2つの割合は一定ではなく、管電圧によって変化します。

タングステンターゲットでは、管電圧を高くするほど特性X線の割合が増えていきます。

管電圧が高くなると特性X線の割合が増える

特性X線を発生させるためには、入射電子によってターゲット原子の内殻電子を電離させる必要があります。

管電圧を高くすると、ターゲット原子のK殻電子を電離できる入射電子が増え、K殻に空位が生じやすくなります。
K殻に空位ができると、外側にあるL殻などの電子がK殻へ遷移します。
特にL殻からK殻への遷移は起こりやすく、このときK_α線が発生します。

さらに、L殻の電子がK殻へ遷移すると、今度はL殻に空位ができます。
すると、その空位を埋めるためにM殻など、さらに外側の電子が遷移します。

このように、内側の軌道に空位ができると、その空位を埋める電子の遷移が次々と起こります。

つまり、

管電圧が高くなる → K殻電子の電離が起こりやすくなる → K殻の空位が増える → 外側から内側への電子の遷移が次々と起こる → 特性X線が多く発生する

という流れです。

このため、管電圧を高くすると、放出されるX線の中で特性X線が占める割合も増えていきます。

タングステンターゲットにおける特性X線の割合

タングステンターゲットでは、管電圧によって制動X線と特性X線の割合が次のように変化します。

※固有フィルタのみの三相12ピーク整流回路の場合の数値です。

管電圧80 kVでは特性X線の割合は10％ですが、150 kVでは28％まで増えています。

ここで大切なのは、細かな数値をすべて覚えることよりも、

管電圧が高くなるほど、特性X線の割合が増える

という傾向を押さえておくことです。

なお、この割合はターゲット材料やX線装置の条件などによって変化します。
表の数値は、タングステンターゲットにおける一例として捉えておきましょう。

実際に出題された過去問を見てみよう

最近、X線管球のエネルギースペクトルの問題は良く見かけます。
2023年2月に実施された第75回AM71を見てみましょう。

X線管から発生したエネルギースペクトルを図に示す。
正しいのはどれか。

1. 管電圧は100kVである。
2. 付加フィルタの吸収端が観察される。
3. K特性X線とL特性X線が観察される。
4. タングステンターゲットから発生したX線である。
5. 連続スペクトルより線スペクトルの発生した割合が多い。

医療現場でのかかわり

診療放射線技師がX線撮影を行うとき、管電圧は画像の見え方や患者さんの被ばくに関わる重要な撮影条件です。

管電圧を高くすると、発生するX線の最大エネルギーが高くなり、X線のエネルギースペクトルも高エネルギー側へ広がります。
その結果、X線は人体を透過しやすくなります。

また、診断用X線では制動X線だけでなく、ターゲットから発生する特性X線も含まれています。
特にタングステンターゲットでは、管電圧が高くなるにつれてK系列の特性X線が発生しやすくなり、X線スペクトルに占める割合も増えていきます。

普段の撮影では管電圧を「何kVに設定するか」に目が向きがちですが、その数字の裏では、X線の最大エネルギーやエネルギー分布そのものが変化していることも意識しておきましょう。

まとめ

今回は、X線の最大エネルギーと特性X線の特徴について見てきました。
最後に、今回のポイントを振り返ってまとめていきましょう。

• 制動X線の最大エネルギーは管電圧によって決まる
• 管電圧［kV］とX線の最大エネルギー［keV］は、数値として同じになる
• K_α線はK_β線よりも低エネルギー側に現れる
• K_α線はK_β線よりも強度が大きい
• 特性X線のピークが1つだけ示されている場合は、K_α線と考える
• 低エネルギーのL系列の特性X線は、固有ろ過や付加ろ過によって吸収される
• 管電圧が高くなるとK殻電子を電離できる入射電子が増え、K系列の特性X線が発生しやすくなる
• タングステンターゲットでは、管電圧が高くなるほど特性X線の割合が増える

スペクトルの形だけでなく、どの部分が何を表しているのかまで読めるようにしておこう！！

次に読むならコレ！レントゲン博士のおすすめ内部リンク

次はこの辺りも参考になるかもよ。

• C08：X線エネルギー分布はなぜ削られる？
• C02：特性X線の発生原理と種類

この記事を書いた人

たなまる
詳しいプロフィールはこちら

診療放射線技師・医療系専門学校専任教員。

都内大学病院で9年間勤務後、
2015年より医療系専門学校の専任教員として
放射線物理学・核医学・医用工学・放射線計測学・放射化学
などの講義を担当しています。

国家試験対策用ワークブックの制作や学習支援サイト「勉強嫌いの放物」の運営を行っています。

保有資格：
・診療放射線技師
・第1種放射線取扱主任者
・作業環境測定士
・衛生工学衛生管理者
ほか、放射線関連国家資格を保有

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X線管の中では、電子がターゲットに衝突することでX線が発生しています。
でも、そのとき電子が持っていたエネルギーのうち、どれくらいが本当にX線に変わっているのかご存知でしょうか。

実は、X線として利用できるエネルギーはごくわずかで、ほとんどは別の形に変わってしまいます。
この割合を数式で整理したものが、X線の発生効率です。

ここでは、まず電子がターゲットに持ち込むエネルギーと、そこから発生するX線の強度を式で整理し、発生効率がどのように決まるのかを順を追って確認していきます。
さらに、タングステンターゲットを例に、実際の数値計算もやってみましょう。

計算の結果を見れば、なぜ発生効率が1％にも満たないのか、なぜX線管に冷却が必要なのかが、数式と現実の両方からはっきり見えてきます。

制動放射によるX線発生効率とは何か

X線管では、加速された電子がターゲットに衝突することでX線が発生します。
ただし、ここで重要なのは「X線が出る」という事実そのものではなく、電子が持っていたエネルギーのうち、どれだけがX線に変換されたのかという点です。
この割合を表したものが、X線の発生効率です。

X線は電子エネルギーの何％が変換されたものか

発生効率とは、ターゲットに入射した電子の全エネルギーに対して、そこから発生したX線の全エネルギーがどの程度の割合を占めているかを示す量です。
言い換えると、「電子が持ち込んだエネルギーのうち、X線として取り出せた分はどれくらいか」を数値で表したものになります。

この考え方を式で表すと、発生効率は
X線のエネルギー ÷ 電子のエネルギー
という形で定義されます。

ここで、用いる記号を整理しておきましょう。

• η：X線発生効率
• I_X：ターゲットから発生したX線の全エネルギー
• I_e：ターゲットに入射した電子の全エネルギー

これらを用いると、X線発生効率は次の文字式で表されます。

$$η=\frac{I_X}{I_e}$$

この式は、X線発生効率の基本的な定義式であり、
このあと電子のエネルギーやX線の強度を具体的に整理していくための出発点になります。

ターゲットに入射する電子の全エネルギー

X線発生効率を考えるためには、まず分母にあたる電子がターゲットに持ち込むエネルギーをはっきりさせておく必要があります。
ここでは、X線管において電子がどれだけのエネルギーを運んできているのかを、式を使って整理していきます。

管電流・管電圧・照射時間から電子エネルギーを求める

線発生効率を考えるためには、まず
電子がターゲットにどれだけのエネルギーを持ち込んでいるのか
を明確にする必要があります。
X線の源ですからね。

X線管では、電子は管電圧によって加速され、
管電流と照射時間によって、その数が決まります。
つまり、電子がターゲットに持ち込む全エネルギーは、

• 1個の電子が持つエネルギー
• ターゲットに到達した電子の数

の両方を考えることで求められます。

この考え方を言葉の式で表すと、
電子の全エネルギーは

管電圧 × 管電流 × 照射時間

で決まることになります。

ここで、用いる記号を整理しておきましょう。

• I_e：ターゲットに入射した電子の全エネルギー
• i：管電流
• V：管電圧
• t：照射時間

これらを用いると、電子の全エネルギーは次の文字式で表されます。

$$\color{#B22222}{I_e = iVt}$$

この式は、
電力（電圧×電流）×時間＝エネルギー
という基本的な物理関係を、そのままX線管に当てはめたものです。

つまり、この式が示しているのは、
「その撮影条件で、ターゲットにどれだけの電子エネルギーが投入されたか」
という点になります。

この I_e が、X線発生効率を求めるときの分母にあたる量になります。

ターゲットから発生するX線の全強度

電子がターゲットに入射すると、そのエネルギーの一部がX線として放出されます。
ここで考えたいのは、「どれくらいのX線が発生したのか」という量の問題です。
このX線の量は、撮影条件やターゲットの性質によって変化します。

制動放射の強度を決める因子

電子がターゲットに入射すると、そのエネルギーの一部が制動放射としてX線に変換されます。
ここで考えたいのは、「どれくらいの強さのX線が発生するのか」という点です。

制動放射によるX線の強度は、主に次の要因に依存します。

まず影響するのが、ターゲットの原子番号です。
原子番号が大きいほど、電子は原子核の強いクーロン力を受け、減速が大きくなります。
その結果、制動放射は強くなります。

次に重要なのが管電圧です。
管電圧が高いほど、電子は大きなエネルギーを持ってターゲットに衝突し、制動放射が起こりやすくなります。

さらに、管電流と照射時間も関係します。
これらはターゲットに入射する電子の数を決める量であり、電子の数が多いほど、発生するX線の総量も増加します。

このように、制動放射の強度はターゲットの性質と撮影条件の両方によって決まります。

制動放射によるX線強度の式

先ほど整理した関係をまとめると、制動放射によるX線の全強度は、

• ターゲットの原子番号
• 管電圧
• 管電流
• 照射時間

に依存していることがわかります。

この考え方を言葉の式で表すと、制動放射によるX線の強度は

原子番号 × 管電流 × 管電圧²× 照射時間

に比例します。

ここで、用いる記号を整理しておきましょう。

• I_x：制動放射によって発生したX線の全強度
• Z：ターゲットの原子番号
• i：管電流
• V：管電圧
• t：照射時間
• k：比例定数

これらを用いると、制動放射によるX線強度は次の文字式で表されます。

$$\color{#B22222}{I_X=kZiV^2t}$$

この式から、管電流や照射時間はX線の量を変化させるパラメータであり、管電圧はX線の質を変化させるパラメータであると同時に、制動放射の起こりやすさにも関与していることが読み取れます。

この I_x が、X線発生効率を求めるときの分子にあたる量になります。

制動放射線の全強度が管電圧の「2乗」に比例する
っていうのが国試で出題されたことがあります。

X線発生効率の式を導く

ここまでで、

• ターゲットに入射する電子の全エネルギー
• ターゲットから発生するX線の全強度

を、それぞれ整理してきました。
ここでは、この2つを比の形でまとめ、X線発生効率の式を導いていきます。

発生効率はX線エネルギーと電子エネルギーの比

ここで扱う η（イータ） は、
X線発生効率を表す記号です。

X線発生効率とは、
ターゲットに入射した電子の全エネルギーのうち、どれだけがX線として取り出せたか
を表した割合でしたね。

言葉で書くと、X線発生効率は
X線の全エネルギー ÷ 電子の全エネルギー
として定義されます。

以後、このX線発生効率を η で表していきます。

発生効率の式を整理すると何が残るか

ここでは、X線発生効率 η（イータ） を、式の形で順番に整理していきます。
ゴールは「発生効率が何に依存して決まるのか」を、式変形で自分の目で確認できるようにすることです。

まず、X線発生効率の定義式は次の通りです。

• η：X線発生効率
• I_x：制動放射によって発生したX線の全強度
• I_e：ターゲットに入射した電子の全エネルギー

$$η=\frac{I_X}{I_e}$$

次に、これまで整理した2つの式を思い出します。

• 電子の全エネルギー　$I_e=iVt$
• 制動放射によるX線の全強度　$I_X=kZiV^2t$

ここからは、ηの式に代入して整理していきます。

まず、定義式に I_x と I_e を代入します。

$$\color{#B22222}{\begin{aligned}
η&=\frac{I_X}{I_e}\\[6pt]
&=\frac{kZiV^2t}{iVt}
\end{aligned}}$$

分子と分母に同じ形で入っているものを約分すると、

• i（管電流） が消える
• t（照射時間） が消える
• V は 2乗と1乗が相殺されて V になる

という形になります。

$$\color{#B22222}{\begin{aligned}
η&=\frac{I_X}{I_e}\\[6pt]
&=\frac{kZiV^2t}{iVt}\\[6pt]
&=kZV
\end{aligned}}$$

つまり、X線発生効率は

• Z（ターゲットの原子番号）
• V（管電圧）

で決まり、管電流 i と 照射時間 t には依存しない、ということになります。

ここで、この結果を撮影条件の感覚と結び付けておきましょう。

• 管電流 i と 照射時間 t は、X線の量を変化させるパラメータです。
  ただし、i と t は I_x と I_e の両方に同じように効くため、比を取ると打ち消し合います。
• 管電圧 V は、X線の質を変化させるパラメータです。
  そしてこの式変形から分かるように、管電圧は発生効率にも関与するため、結果としてX線の量にも影響を及ぼします。

このように、式を順に整理していくと、「どの条件が効率を変え、どの条件が効率を変えないのか」がはっきり見えてきます。

タングステンターゲットで発生効率を計算してみよう

ここまでで、X線発生効率が

$$η=kZV$$

で表されることを整理しました。

ここでは、実際のX線管でよく用いられるタングステンターゲットを例に、X線発生効率がどの程度の値になるのかを、具体的な数値で確認してみましょう。

計算条件の整理

今回の計算では、次の条件を用います。

• Z：タングステンの原子番号（74）
• V：管電圧（100 kV）
• k：比例定数（10⁻⁹）

ここで η（イータ） は、X線発生効率を表す量であり、電子の全エネルギーのうち、X線に変換された割合を意味します。

計算結果とその意味

これらの値を発生効率の式に代入すると、

$$
\color{#B22222}{
\begin{aligned}
η&=kZV\\[6pt]
&=10^{-9}\times74\times100\times10^3
\end{aligned}}$$

となり、計算結果は

$$\color{#B22222}{η ≈ 0.74 \mathrm{ [\%]}}$$

です。

つまり、タングステンターゲットを用いた場合でも、電子が持っていたエネルギーのうち、X線として利用できるのは1 %にも満たないということになります。

この数値は、X線がいかに効率の悪い形で発生しているかを示しています。
そして、この事実が次の話題である「なぜX線管では冷却が必要なのか」につながっていきます。

なぜX線管は冷却が必要なのか

前のセクションで見たように、タングステンターゲットを用いた場合でも、X線として利用できるエネルギーは 1 %にも満たない という結果になりました。
では、残りの99%以上のエネルギーはどこへ行ったのでしょうか。

ほとんどのエネルギーは熱になる

電子がターゲットに衝突したとき、そのエネルギーの大部分は原子の振動エネルギーとして失われます。
これが、ターゲット内部で発生する熱です。

X線発生効率 η が 1 %未満ということは、言い換えれば、99 %以上のエネルギーが熱に変換されているということになります。

このため、ターゲットは短時間で非常に高温になります。
もしこの熱を適切に逃がすことができなければ、ターゲットやX線管そのものが損傷してしまいます。

X線管構造と冷却の必要性

X線管では、この大量の熱に対応するために、さまざまな冷却対策が取られています。

例えば、

• ターゲットを回転させて熱を分散させる
• X線管全体を油で満たして熱を逃がす

といった構造が採用されています。

このような冷却機構は、X線の発生効率が低いという物理的な性質から、必然的に必要となった工夫だと言えます。

X線管の冷却は、単なる装置の都合ではなく、X線発生の本質的な性質に根ざしたものなのです。

実際の過去問を見てみよう。

発生効率関係の過去問は探すのに苦労しません。
それほど頻繁に出題されるジャンルなのです。

第73回　2021年　AM71
X線管での制動X線の発生で正しいのはどれか。

1. 発生効率は管電流に比例する。
2. 全強度は管電流の2乗に比例する。
3. 発生効率は管電圧の2乗に比例する。
4. 全強度はターゲット物質の原子番号に比例する。
5. 発生効率はターゲット物質の温度に反比例する。

医療現場でのかかわり

X線発生効率が 1 %にも満たないという事実は、医療現場で日常的に使っているX線装置の設計や運用に、直接関係しています。

診断用X線装置では、十分なX線量を確保するために、管電流や照射時間を調整して撮影を行います。
しかし、その裏側では、投入したエネルギーのほとんどが熱として陽極に蓄積されています。

そのため、連続撮影や透視、高管電圧・高管電流条件での撮影では、X線管の過熱が大きな問題になります。

実際の装置では、回転陽極や油冷却などの仕組みによって、この熱を効率よく逃がす工夫が施されています。

つまり、私たちが日常的に目にしている管球の冷却構造や使用条件の制限は、X線発生効率が低いという物理的な性質を前提として設計されたものです。

発生効率の式を理解することは、単なる計算問題ではなく、なぜこの装置構造なのか、なぜ使用条件に制限があるのかを理解することにもつながります。

かつて大学病院で働いていたころ、職員健診で撮影していたら、照射筒がアッツアツになってしまいましたね。

連続してパンパカ撮影してるとそうなるよね。

まとめ

この記事では、X線管で発生する制動X線の発生効率について、式の意味から装置構造までを整理してきました。
ここまでの内容を振り返りながら、ポイントをまとめていきましょう。

• X線発生効率 η とは、入射した電子の全エネルギーのうち、X線に変換された割合を表す量である。
• 発生効率は η = I_x / I_e と定義され、式を整理すると η = k Z V となる。
• 管電流や照射時間はX線の量を変化させるパラメータだが、発生効率には影響しない。
• 管電圧はX線の質を変化させるパラメータであると同時に、発生効率にも関与する。
• 発生効率は 1 %にも満たず、投入されたエネルギーのほとんどは熱として陽極に蓄積される。

発生効率の式は、ただの計算式ではありません。
なぜX線管に冷却が必要なのか、なぜ使用条件に制限があるのかを、物理の言葉で説明できるようになるための式なんですよ。

次に読むならコレ！レントゲン博士のおすすめ内部リンク

次はこの辺りも参考になるかもよ。

• C05：X線管からの制動放射線
• C08：X線エネルギー分布はなぜ削られる？

この記事を書いた人

たなまる
詳しいプロフィールはこちら

診療放射線技師・医療系専門学校専任教員。

都内大学病院で9年間勤務後、
2015年より医療系専門学校の専任教員として
放射線物理学・核医学・医用工学・放射線計測学・放射化学
などの講義を担当しています。

国家試験対策用ワークブックの制作や学習支援サイト「勉強嫌いの放物」の運営を行っています。

保有資格：
・診療放射線技師
・第1種放射線取扱主任者
・作業環境測定士
・衛生工学衛生管理者
ほか、放射線関連国家資格を保有

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C05では、電子がターゲットに衝突して制動放射線を放つ仕組みを、クラマースやクーレンカンプの理論を通して見てきました。
あのとき扱ったのは、放射されるX線の「量」や「エネルギー分布」を説明するための、いわば「平均的な」モデルでした。

ところが、電子はただ減速するだけではありません。
どの方向に曲がるか、どの角度で放射するか――その違いが、放たれる光の表情を大きく変えます。

そこで登場するのが、ゾンマフェルトの理論式です。
この式は、電子が放射するX線(制動放射線）の角度角度分布を表すもので、制動放射線のスペクトルをより立体的に理解する鍵になります。
今回はそのゾンマフェルトの理論式を手がかりに、「光が放たれる方向」まで踏み込んで見ていきましょう。

制動放射線スペクトルをもう一度見直そう

制動放射線の話をもう少し掘り下げる前に、まずはC05で扱ったクラマース式を思い出しておきましょう。
制動放射線のスペクトルは“おおよそこういう形をしている”というイメージをつかんでおくことで、次に登場するゾンマフェルトの理論式の意味がぐっと見えやすくなります。

クラマース式のおさらい

制動放射線は、電子が金属ターゲットに突入して急減速するときに放たれる電磁波（X線）のことでしたね。
C05では、そのエネルギー分布――つまりどんな波長（エネルギー）の光子が、どのくらいの強度（量）で放射されるか――を、クラマース式で表現しました。

クラマース式は、古典電磁気学を基礎として導かれた近似式です。
電子の運動エネルギー E₀​ と放出されるX線のエネルギー E の関係を考え、強度 I(E) が E₀－E に比例するという単純な形をしています。
その結果、エネルギーが高くなるほどX線の強度は減少し、低エネルギー側に向かってなだらかに増加するスペクトルが得られます。

忘れがちだけど、強度は光子の「エネルギー」と「数」の掛け算。
つまり総エネルギーのことなんだ。

図で表すとこういった感じです。

この式は実験結果をよく再現し、制動放射線の「平均的な姿」をつかむには非常に有用です。
しかし、クラマース式の中では放射がすべての方向に一様に起こると仮定されています。
つまり、どこから観測しても同じ強度で光が出ているという、やや単純化された世界の話なのです。

角度が無視できない理由

実際の電子は、進行方向をもって運動しています。
そして放射されるX線は、その運動方向に応じて特定の角度分布をもっています。
電子がどの方向に向かってブレーキを踏むか――その違いが放射の強さを左右します。

電子がターゲット原子核の近くを通過するとき、その軌道がわずかに曲がります。
この曲がり方は入射角や位置によって変化し、それが光の放射方向に反映されます。
つまり、観測する角度によってスペクトルの形自体が変わってしまうのです。

クラマース式ではこの角度依存を考慮していないため、厳密には現実の放射スペクトルを完全に説明できません。
そこで登場するのがゾンマフェルトの理論式です。
この式では、放射強度を角度とエネルギーの両方の関数として扱い、電子の運動方向との関係を明確に示すことができます。

次の章では、このゾンマフェルトの理論式がどのような考え方に基づいているのかを見ていきましょう。

ゾンマフェルトの理論式とは

クラマース式では、制動放射線がどんなエネルギー分布を示すかを説明できましたが、角度の要素は含んでいませんでした。
現実の放射現象をより正確に表すためには、電子の運動方向と放射の向きの関係――つまり角度依存性を考慮する必要があります。
ゾンマフェルトの理論式は、制動放射線の放射角度分布に応える形で登場しました。

理論が生まれた背景

1920年代、ゾンマフェルト（A. Sommerfeld）は電子が相対論的な速度で運動するとき、古典的な理論では精度が足りないことに気づきました。
電子が光速に近づくほど、ローレンツ因子 γ によってその運動エネルギーが大きくなり、放射のされ方も変化します。
また、電子と原子核との間の相互作用は単なる「電荷のやり取り」ではなく、量子論的な確率のゆらぎを伴う現象です。

ゾンマフェルトは、これらの点を踏まえクラマース式を拡張し、角度分布をもつ放射強度の式を導きました。
この理論式は、電子の速度・放射角度・エネルギーをすべて含む形で表されており、「電子がどの方向にどの程度のX線を放つか」を数学的に記述するものです。

要するに、ゾンマフェルトの理論式は、古典理論の「均一放射」という前提を壊し、放射の向きによって強度が異なるという現実的なモデルといえます。

理論式の形と意味

ゾンマフェルトの理論式では、放射強度 I(θ,E)が電子の速度 v、角度 θ、および放出される光子のエネルギー E に依存して表されます。
具体的な式は複雑なので割愛しますが、本質は「どの角度方向にどれくらいエネルギーが放たれるか」を示すことにあります。

特徴的なのは、電子エネルギーが低い場合（keV領域）では放射は横方向に広がり、電子エネルギーが高くなる（MeV領域）につれて、放射が電子の進行方向（前方）に集中するという点です。

keV領域では電子の速度はそれほど速くないため、相対論的な効果はほとんど現れず、放射はほぼ全方向に近い分布を示します。
一方、電子の速度が光速に近づくMeV領域では、相対論的効果が顕著となり、放射は前方に強く集中します。

つまり、電子が速くなるほど放射角度は狭まり、後方や側方にはほとんど放射されなくなります。
この前方指向性こそが、ゾンマフェルトの理論式が示す重要な特徴であり、角度分布を考慮しないクラマース式との大きな違いです。

また、この理論式は相対論的補正を含むため、高エネルギー電子による制動放射をより正確に扱うことができます。
そのため、X線管の設計やスペクトル解析においても、ゾンマフェルトの理論式は重要な参照モデルとして位置づけられています。

制動放射線の向きとエネルギーの関係

制動放射線ふが「どの方向に放射されるか」は電子の持つエネルギー（＝速度）によって大きく変わります。
つまり、電子のエネルギーが高いほど「進行方向に集中し」、低いほど「あちこちに広がる」という特徴があります。

エネルギーが高いと前方に放射される

電子のエネルギーが高く、たとえば数MeVといった領域では、電子は光速に近い速度で運動しています。
そのため、制動放射線は、電子が進んでいた方向（0°方向）へと強く放射されます。
この現象を「前方放射」と呼びます。

これは、相対論的な効果によるものです。
高速で運動する電子のまわりでは、時間や空間の見え方が変化し、電磁波の放射分布も電子の進行方向に押しつぶされるように集中します。
その結果、高エネルギーの電子ほど、X線は電子の飛んだ方向へ向かって放たれることになります。

この現象は放射線治療に用いられる直線加速器（リニアック・ライナック）で見られる制動放射です。

図では白い三角形のターゲットに向かって上から下に電子が入射しています。
発生する制動放射線も下方向に分布しているのが分かるかと思います。
つまり、0°方向に発生しています。

エネルギーが低いと横方向に広がる

一方で、電子のエネルギーが低く、数十keV程度のときには話が変わります。
この場合、電子の速度はそれほど速くないため、相対論的な影響はほとんど無視できます。
そのため、放射されるX線は進行方向だけでなく、ほぼ全方向に放出されます。

実験的には、特に±90°方向（電子の進行方向に対して横向き）に強い放射が見られます。

この現象は、一般撮影やCTで見られる制動放射です。

図ではターゲットに向かって、左から右に電子が入射しています。
発生する制動放射線は下方向に分布しているのが分かるかと思います。
つまり、90°方向に発生しています。

低エネルギー電子では「横に広がる放射」
高エネルギー電子では「前に集中する放射」
となるんだ。

ゾンマフェルトの理論式が示したこと

これまで見てきたように、制動放射線の放射方向は電子のエネルギーによって大きく変わります。
では、なぜそんな違いが生じるのでしょうか？
そのヒントを与えてくれるのが「ゾンマフェルトの理論式」です。
この式は、電子がターゲット原子の近くを通るときに生じる電磁波（＝制動放射）の放射角度分布を理論的に説明するものです。

理論が教えてくれる“放射の方向性”

ゾンマフェルトの理論式では、電子がどの角度方向にどれだけの強さで電磁波を放つかが定量的に表されます。
式そのものは複雑ですが、要点は次のようにまとめられます。

• 電子の速度が遅いとき（keV領域） → 放射はほぼ全方向に近い分布を示す
• 電子の速度が速いとき（MeV領域） → 放射は電子の進行方向に集中する

つまり、エネルギーが高いほど放射角度は狭まり、電子の進行方向へと「押しつぶされる」ように放射が集まっていくわけです。
これは相対論的効果（電子の運動が光速に近づくこと）によって、電磁場の変化が前方に集中して見えるためです。

このようにゾンマフェルトの理論式は、電子のエネルギーによって制動放射線の角度分布が変化することを定量的に裏づける理論といえます。

さっきから理論「式」や言うてるのに、
式自体は紹介しないんか？

式自体は出題されないからね。
覚えなくても良いって意味で紹介しないよ。

その割り切りが好きやねん！

スペクトル形状への影響

制動放射線スペクトルとは、放射されたX線のエネルギー分布を示したグラフのことです。
もし放射が全方向に均一であれば、観測されるスペクトルは比較的なだらかな形になります。
しかし実際には、観測する角度によってスペクトルの形が変わるのです。

たとえば、電子の進行方向に対して前方側（0°付近）を観測すると、高エネルギー成分が強く現れます。
逆に、横方向（90°付近）では低エネルギー成分が優勢になります。
これは、前方放射では高エネルギーの光子が多く放たれ、横方向では比較的エネルギーの低い光子が放たれるためです。

ゾンマフェルトの理論式によると、
角度ごとの放射強度 I(θ,E)を積分してスペクトルを求めると、
高エネルギー電子では“前方に鋭いピーク”が現れ、低エネルギー電子では“広くなだらかな分布”となります。

要するに、角度分布を無視したクラマース式では見えなかった「方向によるスペクトルの差」が、
ゾンマフェルトの理論式によって初めて説明できるようになったということです。

この考え方は、医療で使われるX線の設計にも深く関わっています。
次の章では、放射の方向性が実際のX線管の構造や利用方向にどう反映されているかを見ていきましょう。

医療現場でのイメージ

ここまで見てきた放射方向の違いは、単なる理論の話ではありません。
実はこの性質が、医療で使われるX線管の構造設計そのものに関わっています。
どの方向に強くX線が出るのかを理解しておくと、装置の向きや照射野の形にも納得がいくようになります。

X線管での放射方向と利用範囲

X線管の中では、電子が陰極（フィラメント）から陽極（ターゲット）へと加速され、そのターゲットで制動放射線が発生します。
このとき、電子のエネルギーは通常およそ数十〜百keVほど。
つまり、ゾンマフェルト理論でいうところの「低エネルギー領域」にあたります。

そのため、放射されるX線は電子の進行方向に集中せず、ターゲット面のほぼ垂直方向（90°付近）へ多く放たれます。
だからこそ、医療用X線管はターゲットを傾けた「斜入射構造」になっており、
この側方に放たれる放射線を下向きに取り出して利用しているのです。

この仕組みを使うことで、装置全体をコンパクトにしつつ、均一な照射野を得られるよう工夫されています。
つまり、ゾンマフェルトの理論式が示した“横方向優勢”の特性を、X線管の設計が実際に活かしているということです。

へぇ。意外と考えられとるんやなぁ。

制動放射線のエネルギー

制動放射線のエネルギーは入射電子と原子核の位置関係が大きく関わっています。

近くを通るか、遠くを通るか

電子が原子核のそばを通る場合（図の左）、電子にはクーロン引力が強く働きます。
そのため、電子は多くの運動エネルギーを失うことになります。
その結果として、発生する制動放射線のエネルギーは大きくなります。

電子が原子核の遠くを通る場合（図の右）、電子にはクーロン引力は少ししか働きません。
そのため、電子は運動エネルギーをあまり失わずに済みます。
その結果として、発生する制動放射線のエネルギーは小さくなります。

実際の過去問を見てみよう。

ちょっと（かなり？）古いですが、2001年に実施された第53回国家試験からのご紹介。
少し改編していますが、ご参考までに。

第53回　2001年　問14（改）
制動放射線で正しいのはどれか。2つ選べ。

1. 診断用X線領域では制動放射線が主である。
2. 診断領域での発生効率は10％程度である。
3. 総エネルギー（全強度）は管電圧の2乗に反比例する。
4. 強度はターゲット物質の原子番号に反比例する。
5. 放射方向の角度分布は入射電子のエネルギーによって変化する。

答えを確認する。

正解は　1 と 5　です。

できましたか？簡単な解説を置いておきます。

• ① 診断用X線領域では制動放射線が主である。〔正〕
  診断領域（数十～百 keV）では、連続スペクトルの制動放射線が主体です。特性X線は一部に重なる程度です。
• ② 診断領域での発生効率は10％程度である。〔誤〕
  診断用X線管の効率は1％未満で、その他はほとんどは熱になります。放射線治療エネルギー帯なら10％に近くなります。
• ③ 総エネルギー（全強度）は管電圧の2乗に反比例する。〔誤〕
  全強度は管電圧の2乗に比例します（反比例ではありません）。おおまかに $I∝ZV^2$ の関係です。
• ④ 強度はターゲット物質の原子番号に反比例する。〔誤〕
  強度は原子番号 Z に比例します。Z が大きい（例：W）ほど制動放射線は出やすくなります。
• ⑤ 放射方向の角度分布は入射電子のエネルギーによって変化する。〔正〕
  MeV帯では前方に集中、keV帯では横方向（90°付近）に広がります。ゾンマフェルトの理論式で裏づけられます。このC06の記事でご紹介した通りです。

ゾンマフェルトが出題される機会は多くはありませんが、知っていると色々と理解が深まりますよ。
発生効率や強度に関しては次のC07：X線の発生効率 X線になるのは少数派？で触れています。

医療現場でのかかわり

ゾンマフェルトの理論で示された「放射の方向性」は、実際の医療装置でもそのまま活かされています。
ここでは難しい話は抜きにして、現場でどう使われているかだけを整理しましょう。

X線管での放射方向と利用範囲

診断用X線装置では、電子のエネルギーは数十〜百keV。
つまり、横方向（90°方向）のX線強度が高くなる領域です。
そのため、X線管はターゲットを斜めに傾け、横に出る放射線を下向きに取り出す構造になっています。
私たちが普段使っている一般撮影装置は、まさにこの“横方向放射”を利用しています。

一方、放射線治療装置（リニアック）の場合は電子エネルギーが数MeVと高く、ゾンマフェルト理論でいう前方放射（0°方向）のX線強度が高くなる領域に入ります。
したがって、リニアックでは電子の進行方向そのままに放射線を取り出し、治療ビームとして利用しています。

まとめ

この記事では、制動放射線の放射方向が電子エネルギーによって変化するという点を整理しました。
振り返って、ポイントを簡潔にまとめておきましょう。

• 制動放射線の放射方向は、電子のエネルギーによって大きく変わる。
• 診断領域（keV帯）では、放射は電子の進行方向に対してほぼ90°（横方向）が強い。
• 治療領域（MeV帯）では、放射は電子の進行方向（前方・0°方向）に集中する。
• ゾンマフェルトの理論式は、この放射の方向性（角度分布）を理論的に裏づけたものである。
• この性質は、一般撮影用X線管やリニアックの装置設計にもそのまま反映されている。

エネルギーが変われば、放射の向きも変わる。
それを式で説明したのがゾンマフェルト理論。
無理に式を覚えなくても、「ああ、理屈はこういうことか」と納得できていれば十分ですよ。

次に読むならコレ！レントゲン博士のおすすめ内部リンク

次はこの辺りも参考になるかもよ。

• C05：X線管からの制動放射線
• C01：X線の定義と種類

この記事を書いた人

たなまる
詳しいプロフィールはこちら

診療放射線技師・医療系専門学校専任教員。

都内大学病院で9年間勤務後、
2015年より医療系専門学校の専任教員として
放射線物理学・核医学・医用工学・放射線計測学・放射化学
などの講義を担当しています。

国家試験対策用ワークブックの制作や学習支援サイト「勉強嫌いの放物」の運営を行っています。

保有資格：
・診療放射線技師
・第1種放射線取扱主任者
・作業環境測定士
・衛生工学衛生管理者
ほか、放射線関連国家資格を保有

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