A17 質量欠損と結合エネルギーを計算しよう

質量欠損や結合エネルギーの意味はなんとなくわかるけど、
いざ計算問題になると

「どこから手をつけていいのかわからない……」
と手が止まってしまう。

あるあるですよね。
私の友人にもいましたよ。
計算問題になるとアレルギー起こすやつ。笑

でも、ご安心を。
この記事では計算の流れを具体的に追っていきます。
重水素や⁴Heを題材に実際に手を動かすことで、
「どうやって解けばいいか」がつかめるようになるはずです。

まずは重水素を例に解いてみましょう。
手取り足取り一緒に見ていきますから、じっくりやってみましょう。
その後ちょびっとヒントを与えつつ、⁴Heで考える練習。
最後は¹²Cの国試問題に挑戦する。
そんな3段構えです。

質量差を数値で出してエネルギーに換算する。
このステップを繰り返すことで、手順が自然に身につきます。

計算ができると「質量欠損＝結合エネルギー」の理解もより実感を伴ったものになるでしょう。

質量欠損は覚えていますか？
重水素を例に計算してみよう
4Heで練習してみよう
実際の問題を見ていきましょう。
まとめ
次に読むならコレ！レントゲン博士のおすすめ内部リンク
この記事を書いた人

質量欠損は覚えていますか？

落ち着いて取り組めば、中学生でもできる計算問題です。
やっかいなのは、桁数が異常に多いところ・・・

A15：原子核の結合エネルギーと質量欠損でご紹介した、
「バラバラのときの質量の合計からくっついたときの質量を引く」ことを利用していきます。

これは質量欠損でしたね。

では重水素を例に見ていきましょう。

重水素を例に計算してみよう

まずは基本中の基本として、重水素（²H）を例に質量欠損と結合エネルギーを求めてみましょう。
一緒に式を追っていくので、落ち着いて進めてください。

重陽子（原子）の構成を確認

まずは重陽子の構成を確認しましょう。
ここで間違い・勘違いがあると正解にたどり着くことはありません。

重陽子は正の電荷をもつ陽子1個、電荷をもたない中性子1個、負の電荷をもつ電子1個で構成されています。
※重陽子”原子”で考えています。重陽子”原子核”の場合は電子は含まれません。

必要な数値を確認

次に、計算に必要な数値を確認しておきましょう。

陽子の質量：1.007276 Da
中性子の質量：1.008665 Da
電子の質量：0.000548 Da
重水素（²H）の原子質量：2.014102 Da

桁数が多くて嫌になりますが、小数点の位置をキッチリ縦に揃えて間違わないように注意しましょう。

バラバラにした質量の合計を出す

重水素は陽子1個・中性子1個・電子1個から成り立ちます。
したがって、バラバラにしたときの合計質量は次のように計算します。

$$ 1.007276+1.008665+0.000548=2.016489 \,\mathrm{Da}$$

質量欠損⊿ｍを計算する

次に、バラバラにしたときの合計質量から実際の重水素の原子質量を引きます。

$$⊿m=2.016489-2.014102=0.002387 \,\mathrm{Da}$$

これで質量欠損が求まりました。

エネルギーEに換算する

質量欠損はエネルギーに変換することができます。
結合エネルギーでしたね。
1 Da = 931.5 MeV という具合に換算できるので、重水素の場合はこうなります。

$$
\begin{aligned}
E&=0.002387 \times \color{#B22222}{931.5}\\[6pt]
&=\text{約}2.223\,\mathrm{MeV}
\end{aligned}
$$

結果と意味を整理してみよう

重水素の質量欠損は 0.002387 Da、これに相当する結合エネルギーは 約2.2 MeV でしたね。
つまり、重水素の原子核をバラバラにするには2.2 MeVものエネルギーが必要ということになります。
逆に言えば、核ができるときにこのエネルギーが放出されて安定している、ということでもあります。

4Heで練習してみよう

それでは、⁴Heでも先ほどと同じようにやってみよう。

粒子の数と質量を確認

Hint：まずは「バラバラの合計質量」を出してから、実際の原子質量を引く。

陽子（2個）：1.007276 Da × 2
中性子（2個）：1.008665 Da × 2
電子（2個）：0.000548 Da × 2
4He の原子質量（中性原子）：4.002603 Da

結果を確認

うまいこと計算できましたか？
うまくいけばこういう結果が得られているはず。

バラバラの合計質量　4.032978 Da
質量欠損　0.030375 Da
結合エネルギー　約28.30MeV

重水素との比較からわかること

重水素の結合エネルギーは約2.22MeV、それに対し⁴Heは約28.30MeV。
この数値をそれぞれの核子数（重水素なら2、⁴Heでは4）で除したものが「核子1個あたりの結合エネルギー」となります。

この核子1個あたりの結合エネルギーで両者を比較すると、重水素では1.11MeV、⁴Heでは7.1MeVとなり、⁴Heの方が強固に結合していることが分かりますね。

核子1個あたりの結合エネルギー・・・？
どっかで聞いたことあったような
なかったような。

ちょっと前にやったじゃないか～。
ここだよ。
A15：原子核の質量が軽くなる？質量欠損とエネルギー

実際の問題を見ていきましょう。

ちょっと古い問題ですがご紹介していきましょう。
年代的に u で出題されていた時代ですので、 Da に置き換えています。
したがって、「改」の文字が付いています。

第51回　1999年　問14改
陽子、中性子および電子の質量をそれぞれ 1.0073Da 、 1.0087Da 、および 0.0005Da とする場合、 ${}^{12}\mathrm{C}$ の質量欠損 [Da] はどれか。

0.0059
0.059
0.099
0.59
0.99

いかがでしょうか？

国試の問題自体はここまでですが、続きとして、¹²Cの質量欠損をエネルギーに換算した場合は何MeVになるかも求めてみましょう。
定義をしっかりと覚えていれば、¹²Cの統一原子質量は分かりますよね？
当然12Daでしたよね。
もう一つ、1Daをエネルギーに換算すると931.5MeVでしたね。

うっかり忘れてしまった方は「A14：統一原子質量単位とは？覚えるべき数値と使い方」をCheckです。

解答を確認する。

答えは　3　です。
それをエネルギーに換算すると、　92.22MeV　となります。

解説

陽子、中性子、電子の質量を足します。
$1.0073+1.0087+0.0005=2.0165 \mathrm{Da}$

それぞれ６個ずつありますから、質量の合計は
$2.0165×6=12.099 \mathrm{Da}$

¹²Cの質量は定義から12Daと決まっていますので、その質量欠損⊿Mは
$⊿M=12.099－12=0.099 \mathrm{Da}$　となります。
よって、答えは選択肢　3　ですね。

続きとして・・・
0.099DaをエネルギーEに換算するには931.5を乗じます。
$E=0.99×931.5=92.22 \mathrm{MeV}$　という具合になります。

まとめ

今回は、質量欠損から結合エネルギーを求める計算手順について学びました。
難しそうに見える計算も、「バラバラの質量を足す→質量欠損を求める→エネルギーへ換算する」という流れを押さえれば解けるようになります。振り返って整理しておきましょう。

質量欠損は、「バラバラの粒子の質量の合計」から「実際の原子の質量」を引いて求める。
結合エネルギーは、E＝Δmc² を用いて質量欠損をエネルギーへ換算して求める。
1 Da = 931.5 MeV の換算を利用して計算する。
重水素や⁴Heの計算を通して、質量欠損と結合エネルギーの求め方を確認した。
核子1個あたりの結合エネルギーで比較すると、原子核の安定性も評価できる。
国家試験では、計算手順を理解し、質量欠損・結合エネルギー・DaとMeVの換算を関連付けて考えられることが重要である。

計算問題はパターンを覚えることが大切！
何問か解いてみると、「またこの流れか」って思えるようになるよ！

次に読むならコレ！レントゲン博士のおすすめ内部リンク

次はこの辺りも参考になるかもよ。

この記事を書いた人

たなまる
詳しいプロフィールはこちら

診療放射線技師・医療系専門学校専任教員。

都内大学病院で9年間勤務後、
2015年より医療系専門学校の専任教員として
放射線物理学・核医学・医用工学・放射線計測学・放射化学
などの講義を担当しています。

国家試験対策用ワークブックの制作や学習支援サイト「勉強嫌いの放物」の運営を行っています。

保有資格：
・診療放射線技師
・第1種放射線取扱主任者
・作業環境測定士
・衛生工学衛生管理者
ほか、放射線関連国家資格を保有