「結合エネルギー」という言葉は知っていても、グラフになると「結局どこを見ればいいの？」って戸惑うことありますよね。

ここでは、結合エネルギーのグラフの“形”を読み解くことで、原子核の安定性がどう決まるのか見ていきましょう。

質量数の増加に伴う変化や、鉄（Fe）あたりで最大になる理由、そしてそれ以降に減少する原因まで、一つひとつ整理して確認していきましょう。

前回（A15）で学んだ「質量欠損と結合エネルギー」の考え方を土台にすれば、グラフの意味も自然と理解できるはずです。

グラフで見る核子1個あたりの結合エネルギー

A15：原子核の結合エネルギーと質量欠損で触れたグラフを紐解いていきましょう。
まだA15をご覧になっていない方はそちらを先にチェックしていただくと理解がスムーズです。

核子1個あたりの結合エネルギー

横軸に質量数、縦軸に核子1個あたりの結合エネルギーをとったグラフを見ていきましょう。

と、その前に「核子1個あたりの結合エネルギー」の意味は分かりますか？

例えば、質量数4の原子核を例にとって考えてみます。
この原子核の結合エネルギーの合計が10MeVだとしましょう。
核子の数は質量数と同じですから4つです。
10MeVを4つで分け合うと考えればOKです。
つまり、この場合の核子1個あたりの結合エネルギーは2.5MeVとなります。

閑話休題（話を戻しまして）。

核子1個あたりのエネルギーは上のグラフのような変化を辿ります。
比例のような一辺倒な変化ではなく、複雑に変化しています。
この不規則に見える変化の特徴を見出していきます。

• 質量数の小さなところでは、質量数の増加とともに急激に結合エネルギーが上昇する。
• 質量数12以降では平均8MeVになる。
• 質量数56で最大8.8MeVになる。
• 質量数56以降は徐々に減少する。
• 偶々核の⁴He、¹²C、¹⁶Oはその他に比べて結合エネルギーが少し大きい。

質量数の小さなところでは、質量数の増加とともに急激に結合エネルギーが上昇する。

図の赤〇の部分のお話。

この領域では、質量数が大きくなるにつれ、核子1個あたりの結合エネルギーは急激に大きくなります。（グラフの立ち上がりが急峻になります。）

これは　表面効果　が原因です。
表面効果は後ほど説明します。

質量数12以降では平均8MeVになる。

図の青〇の部分のお話。

この領域では核子1個あたりの結合エネルギーの平均値が　8.0MeV　になります。

※図は管理人の自作図です。キチンと測って平均値など出さないで下さいね。多少のズレはご愛嬌ってことで。

質量数56で最大8.8MeVになる。

質量数が約60（厳密には⁵⁶Fe）のところで核子1個あたりの結合エネルギーの最大値が　8.8MeV　になります。

平均値と値が近いので、間違えないようにしてください。出てくる数字は「8」ばっかりです。

質量数56以降は徐々に減少する。

図の緑〇の部分のお話。

⁵⁶Feを境に徐々に減少していきます。

ここは　クーロン効果　が働きます。
質量数が増えるということは、陽子の数も増え、クーロン斥力も増加してしまいます。
斥力は結合とは逆の属性になりますので、核子1個あたりの結合エネルギーは減少してしまいます。

偶々核の⁴He、¹²C、¹⁶Oはその他に比べて結合エネルギーが少し大きい。

図の紫〇の部分のお話。

低原子番号（低質量数）の核種の場合、陽子数と中性子数の等しい原子核は他のものよりちょっとだけ強く結合します。

グラフはノコギリの歯のようにギザギザします。

表面効果

質量数の小さな核種（図の左側）では原子核の表面になる割合が高くなり、結合エネルギーが小さくなります。
図の場合、4つの核子のうち4つすべてが表面にきています。

質量数の大きな核種（図の右側）では中央に存在する核子が出てきます。
図の場合、7つの核子のうち1つが中央で6つが表面更にる感じです。

質量数が更に大きくなれば、中央になる割合が増えていきます。

左の場合、表面の核子はその他2つと結合しています。
それに対し右の場合、中央の核子はその他6つと結合しています。
中央の核子の方が結合数が多いので、結合エネルギーの総合値が高くなります。
逆に言えば、表面になると結合エネルギーが小さくなります。

まとめると、質量数が小さい核種は表面になってしまう核子の割合が高くなり、結合エネルギーが小さくなります。

＜補足＞
表面張力は表面積に比例します。つまり質量数の2/3乗に比例します。

体積効果

体積効果とは、質量欠損が体積に比例して大きくなる ことで生じる効果です。
核が大きくなるほど、核子（陽子＋中性子）の数も増えていきます。
核子数は体積に比例するため、
核子どうしがつくる結びつきの総量（＝質量欠損）が体積の増加に合わせて増える
というのが体積効果の基本的な考え方です。

これはイメージしやすいで。
オレでも分かるわ！

もう少しイメージで補足すると

核力（強い相互作用）は短い距離でしか働きませんが、
体積の中心にいる核子は周囲に多くの仲間がいるため、たくさんの結びつきが可能です。

• 小さな核 ⇒ 中心部が少なく、結びつける相手が限られる
• 大きな核 ⇒ 中心部が増え、結びつきの数が増える

つまり、
①質量欠損は体積に比例する
②核子数（質量数）が体積に比例するため
という関係が自然と成り立つわけです。

クーロン効果

原子核の中では陽子と中性子がぎゅっと集まっていますが、陽子どうしはどちらも正の電荷をもつため、クーロン力（静電気の反発力）が働きます。

この力は核を安定化させる方向ではなく、むしろ結合を弱める方向にはたらくというのがポイントです。

反発の大きさは、陽子の数が増えるほど大きくなります。
その増え方は単純な比例ではなく、陽子数の2乗に比例して急激に増えるという性質を持っています。

また、陽子どうしの距離が近いほどクーロン力は強くなるため、原子核の大きさ（体積の1/3乗＝半径）によって反発の強さが変わってきます。

ここまでをまとめると、

• 陽子間にはクーロン力が働く
• クーロン力は結合を弱める方向にはたらく
• クーロン力は陽子数の2乗に比例する
• 陽子の距離（体積の1/3乗）に反比例して強さが変わる

というイメージになります。

また、クーロン効果が特に大きな影響を与えるのは重い原子核です。
陽子数が多いほど反発が急激に強まるため、強い相互作用（核力）だけでは安定を保ちきれなくなります。

その結果として、

• 重い元素は不安定になりやすい
• α壊変や自発核分裂を起こしやすい
• 鉄より重くなると結合エネルギーが下がる

といった現象が出てきます。

対称効果

原子核の中では、陽子と中性子の数の“バランス”が、結合の強さに大きく影響します。
この「どんな比率だと安定するのか」を説明するのが 対称効果 です。

上のグラフでは安定な原子核は赤線のような関係性で分布しています。

陽子と中性子の“ちょうどいい比率”が核の安定をつくるんです。

低い原子番号の核では「陽子数＝中性子数」が最も安定する

軽い核（⁴He、¹²Cなど）では、
陽子の数と中性子の数がほぼ等しいときに、もっとも強く結合します。

グラフでも、グラフの左側（低原子番号領域）では赤線がZ=Nのラインに乗っていますよね。

これは、核力の働きが陽子にも中性子にもほぼ同じで、
ちょうど1対1で組むとエネルギー的に安定しやすくなるためです。

• 陽子 = 中性子 → 結合が強い → 安定しやすい

重い核では中性子が多く必要になる

一方、鉄より重い元素では状況が変わります。

陽子が増えると、
陽子どうしのクーロン斥力 がどんどん強くなります。

クーロン斥力による反発が強くなるほど、
陽子と同じ数の中性子を入れただけでは核がまとまりにくくなります。

そのため、重い核では…

• 中性子数 ＞ 陽子数
  のほうが安定します。

グラフでは右側の高原子番号領域では、赤線はZ=Nのラインより上方にズレていっていますね。
これは、高原子番号だと中性子数の方が多くないと安定しないということになります。

これによって、鉄以降の重元素では
「陽子より中性子が多い」という特徴が現れます。

なんで、中性子が多い方が安定するんやろか？

中性子はクーロン斥力を発生させずに、結合するための核力だけを増やすことができるからだよ。

安定比は原子番号によって変化する

• 軽い核：
  　陽子：中性子 = 1：1 が安定
• 中程度の核（鉄付近）：
  　中性子がやや多め
• 重い核（ウランなど）：
  　陽子：中性子 = 1：1.5 以上になることも

つまり、
原子番号が大きくなるほど、中性子多めでないと安定できない
というのが対称効果の本質です。

オレの体重が中性脂肪多めじゃないと維持できないのと一緒やな。

自虐ネタに磨きがかかってきたね。

奇数偶数効果

陽子と中性子には、それぞれが「ペア」をつくる性質があります。
そのため、陽子数と中性子数が偶数の核ほど安定しやすく、どちらかが奇数になると安定性は少し下がります。これは、粒子同士がペアをつくるとエネルギー的に有利になるためです。

その結果として、安定な原子核はおおまかに次の順で数が多くなります。

• 偶偶核（陽子・中性子とも偶数）
• 奇偶核（どちらか片方が奇数）
• 奇奇核（陽子・中性子とも奇数）

実際、奇奇核で安定したものは非常に少なく、ごく限られた4種類ほどしか存在しません。
例としては、²₁H、⁶₃Li、¹⁰₅B、¹⁴₇N などがあります。
こうした稀な核種は、陽子と中性子のペアがつくりづらいため、他と比べて安定性が低くなるのが特徴です。

奇々核の安定した核種って覚えた方がえぇんか？

簡単だよ。
原子番号を奇数を小さい順に並べる。
質量数は原子番号の倍にするだけだよ。

メチャクチャ簡単やんか！

結局どこを覚えればよいの？

結合エネルギーの詳細を説明するモデル（液滴模型など）では、

• 体積効果
• 表面効果
• クーロン効果
• 対称効果

といった項目が含まれます。

ただし国家試験で問われるのはグラフの大まかな特徴、
すなわち「鉄付近で最大」「それ以降は徐々に減少」という流れを押さえておけば十分です。

実際の問題を見ていきましょう。

と思いましたが、残念ながらドンピシャで該当するような出題はA15：原子核の質量が軽くなる？質量欠損とエネルギーで既に紹介してしまいました。
少し古いですが、選択肢の1つとして登場した問題をご紹介します。

第66回　2014年　問43
原子核について誤っているものはどれか。

1. 核子は強い相互作用で結合している。
2. 直径はおよそ10^-15～10^-14ｍである。
3. 中間子はクォークと反クォークで構成されている。
4. 1核子あたりの結合エネルギーはおよそ20MeVである。
5. 中性子はアップクォーク1個とダウンクォーク2個で構成されている。

医療現場でこの知識がどう役立つの？

結合エネルギーは、核が安定か不安定かを見極める基礎知識です。放射線技師の実務では、特に核医学で重要になります。

• アイソトープが放射線を出す理由
  　安定していない原子核（結合エネルギーのバランスが悪い核）は、より安定になるために壊変して放射線を放出します。これが核医学で利用する放射性同位元素（RI）です。
• 具体的な検査での例
  　SPECTでよく使う ^99mTc は、余分なエネルギーをガンマ線として放出することで安定に近づきます。
  　PETで使う ¹⁸F は、陽電子を放出してより安定な核へ変わります。いずれも「結合エネルギーが不安定だから崩壊する」現象を利用しているんです。
• 実務でのつながり
  　核の安定性を理解していれば、「どの核種が壊変するか」「半減期がどのくらいか」「放出する放射線の種類は何か」が自然とイメージできるようになります。これはアイソトープ投与後の撮像計画や線量管理に直結する知識です。

つまり、結合エネルギーの理解＝核が安定かどうかを判断する目につながり、核医学検査でRIを正しく安全に扱うための基礎になります。

まとめ

今回は、核子1個あたりの結合エネルギーのグラフから、原子核の安定性について学びました。
グラフの特徴と、その理由を結び付けて理解しておくことが国家試験対策では大切です。振り返って整理しておきましょう。

• 核子1個あたりの結合エネルギーは、質量数が小さいうちは急激に増加する。
• 質量数12以降では、およそ 8.0 MeV 前後で推移する。
• ⁵⁶Fe で最大 8.8 MeV となり、最も安定な原子核となる。
• ⁵⁶Fe より重い原子核では、クーロン斥力の影響で核子1個あたりの結合エネルギーは徐々に減少する。
• 結合エネルギーの変化を理解すると、核融合と核分裂の両方でエネルギーが放出される理由も理解しやすくなる。
• 国家試験では、グラフの細かな形よりも「鉄付近で最大」「その前後でどう変化するか」を押さえておくことが重要である。

鉄で最大8.8MeV、以降は減少、平均8MeV――この流れを押さえておけば試験は安心です。核医学とのつながりも意識して覚えておきましょう。

次に読むならコレ！レントゲン博士のおすすめ内部リンク

次はこの辺りも参考になるかもよ。

• A12：原子核の構造と核子・質量数の違いをやさしく解説【原子番号・同位体も整理】
• A15：原子核の質量が軽くなる？質量欠損とエネルギー

この記事を書いた人

たなまる
詳しいプロフィールはこちら

診療放射線技師・医療系専門学校専任教員。

都内大学病院で9年間勤務後、
2015年より医療系専門学校の専任教員として
放射線物理学・核医学・医用工学・放射線計測学・放射化学
などの講義を担当しています。

国家試験対策用ワークブックの制作や学習支援サイト「勉強嫌いの放物」の運営を行っています。

保有資格：
・診療放射線技師
・第1種放射線取扱主任者
・作業環境測定士
・衛生工学衛生管理者
ほか、放射線関連国家資格を保有

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質量欠損や結合エネルギーの意味はなんとなくわかるけど、
いざ計算問題になると

「どこから手をつけていいのかわからない……」
と手が止まってしまう。

あるあるですよね。
私の友人にもいましたよ。
計算問題になるとアレルギー起こすやつ。笑

でも、ご安心を。
この記事では計算の流れを具体的に追っていきます。
重水素や⁴Heを題材に実際に手を動かすことで、
「どうやって解けばいいか」がつかめるようになるはずです。

まずは重水素を例に解いてみましょう。
手取り足取り一緒に見ていきますから、じっくりやってみましょう。
その後ちょびっとヒントを与えつつ、⁴Heで考える練習。
最後は¹²Cの国試問題に挑戦する。
そんな3段構えです。

質量差を数値で出してエネルギーに換算する。
このステップを繰り返すことで、手順が自然に身につきます。

計算ができると「質量欠損＝結合エネルギー」の理解もより実感を伴ったものになるでしょう。

質量欠損は覚えていますか？

落ち着いて取り組めば、中学生でもできる計算問題です。
やっかいなのは、桁数が異常に多いところ・・・

A15：原子核の結合エネルギーと質量欠損でご紹介した、
「バラバラのときの質量の合計からくっついたときの質量を引く」ことを利用していきます。

これは質量欠損でしたね。

では重水素を例に見ていきましょう。

重水素を例に計算してみよう

まずは基本中の基本として、重水素（²H）を例に質量欠損と結合エネルギーを求めてみましょう。
一緒に式を追っていくので、落ち着いて進めてください。

重陽子（原子）の構成を確認

まずは重陽子の構成を確認しましょう。
ここで間違い・勘違いがあると正解にたどり着くことはありません。

重陽子は正の電荷をもつ陽子1個、電荷をもたない中性子1個、負の電荷をもつ電子1個で構成されています。
※重陽子”原子”で考えています。重陽子”原子核”の場合は電子は含まれません。

必要な数値を確認

次に、計算に必要な数値を確認しておきましょう。

• 陽子の質量：1.007276 Da
• 中性子の質量：1.008665 Da
• 電子の質量：0.000548 Da
• 重水素（²H）の原子質量：2.014102 Da

桁数が多くて嫌になりますが、小数点の位置をキッチリ縦に揃えて間違わないように注意しましょう。

バラバラにした質量の合計を出す

重水素は陽子1個・中性子1個・電子1個から成り立ちます。
したがって、バラバラにしたときの合計質量は次のように計算します。

$$ 1.007276+1.008665+0.000548=2.016489 \,\mathrm{Da}$$

質量欠損⊿ｍを計算する

次に、バラバラにしたときの合計質量から実際の重水素の原子質量を引きます。

$$⊿m=2.016489-2.014102=0.002387 \,\mathrm{Da}$$

これで質量欠損が求まりました。

エネルギーEに換算する

質量欠損はエネルギーに変換することができます。
結合エネルギーでしたね。
1 Da = 931.5 MeV という具合に換算できるので、重水素の場合はこうなります。

$$
\begin{aligned}
E&=0.002387 \times \color{#B22222}{931.5}\\[6pt]
&=\text{約}2.223\,\mathrm{MeV}
\end{aligned}
$$

結果と意味を整理してみよう

重水素の質量欠損は 0.002387 Da、これに相当する結合エネルギーは 約2.2 MeV でしたね。
つまり、重水素の原子核をバラバラにするには2.2 MeVものエネルギーが必要ということになります。
逆に言えば、核ができるときにこのエネルギーが放出されて安定している、ということでもあります。

⁴Heで練習してみよう

それでは、⁴Heでも先ほどと同じようにやってみよう。

粒子の数と質量を確認

Hint：まずは「バラバラの合計質量」を出してから、実際の原子質量を引く。

• 陽子（2個）：1.007276 Da × 2
• 中性子（2個）：1.008665 Da × 2
• 電子（2個）：0.000548 Da × 2
• 4He の原子質量（中性原子）：4.002603 Da

結果を確認

うまいこと計算できましたか？
うまくいけばこういう結果が得られているはず。

• バラバラの合計質量　4.032978 Da
• 質量欠損　0.030375 Da
• 結合エネルギー　約28.30MeV

重水素との比較からわかること

重水素の結合エネルギーは約2.22MeV、それに対し⁴Heは約28.30MeV。
この数値をそれぞれの核子数（重水素なら2、⁴Heでは4）で除したものが「核子1個あたりの結合エネルギー」となります。

この核子1個あたりの結合エネルギーで両者を比較すると、重水素では1.11MeV、⁴Heでは7.1MeVとなり、⁴Heの方が強固に結合していることが分かりますね。

核子1個あたりの結合エネルギー・・・？
どっかで聞いたことあったような
なかったような。

ちょっと前にやったじゃないか～。
ここだよ。
A15：原子核の質量が軽くなる？質量欠損とエネルギー

実際の問題を見ていきましょう。

ちょっと古い問題ですがご紹介していきましょう。
年代的に u で出題されていた時代ですので、 Da に置き換えています。
したがって、「改」の文字が付いています。

第51回　1999年　問14改
陽子、中性子および電子の質量をそれぞれ 1.0073Da 、 1.0087Da 、および 0.0005Da とする場合、 ${}^{12}\mathrm{C}$ の質量欠損 [Da] はどれか。

1. 0.0059
2. 0.059
3. 0.099
4. 0.59
5. 0.99

いかがでしょうか？

国試の問題自体はここまでですが、続きとして、¹²Cの質量欠損をエネルギーに換算した場合は何MeVになるかも求めてみましょう。
定義をしっかりと覚えていれば、¹²Cの統一原子質量は分かりますよね？
当然12Daでしたよね。
もう一つ、1Daをエネルギーに換算すると931.5MeVでしたね。

うっかり忘れてしまった方は「A14：統一原子質量単位とは？覚えるべき数値と使い方」をCheckです。

まとめ

今回は、質量欠損から結合エネルギーを求める計算手順について学びました。
難しそうに見える計算も、「バラバラの質量を足す→質量欠損を求める→エネルギーへ換算する」という流れを押さえれば解けるようになります。振り返って整理しておきましょう。

• 質量欠損は、「バラバラの粒子の質量の合計」から「実際の原子の質量」を引いて求める。
• 結合エネルギーは、E＝Δmc² を用いて質量欠損をエネルギーへ換算して求める。
• 1 Da = 931.5 MeV の換算を利用して計算する。
• 重水素や⁴Heの計算を通して、質量欠損と結合エネルギーの求め方を確認した。
• 核子1個あたりの結合エネルギーで比較すると、原子核の安定性も評価できる。
• 国家試験では、計算手順を理解し、質量欠損・結合エネルギー・DaとMeVの換算を関連付けて考えられることが重要である。

計算問題はパターンを覚えることが大切！
何問か解いてみると、「またこの流れか」って思えるようになるよ！

次に読むならコレ！レントゲン博士のおすすめ内部リンク

次はこの辺りも参考になるかもよ。

• A14：統一原子質量単位（ダルトン）とは？覚えるべき数値と使い方を解説
• A15：原子核の質量が軽くなる？質量欠損とエネルギー

この記事を書いた人

たなまる
詳しいプロフィールはこちら

診療放射線技師・医療系専門学校専任教員。

都内大学病院で9年間勤務後、
2015年より医療系専門学校の専任教員として
放射線物理学・核医学・医用工学・放射線計測学・放射化学
などの講義を担当しています。

国家試験対策用ワークブックの制作や学習支援サイト「勉強嫌いの放物」の運営を行っています。

保有資格：
・診療放射線技師
・第1種放射線取扱主任者
・作業環境測定士
・衛生工学衛生管理者
ほか、放射線関連国家資格を保有

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